Не обязательно на машине, оттуда в Россию можно по внутреннему паспорту и на самолёте.
Мне такой вариант тоже предлагали, по европейскому паспорту туда можно без визы, но на очень короткий срок, через который надо будет выехать обратно из Белоруссии. Так что если за этот срок уехать в Россию за паспортом, то обратно вернуться не успеется, а это будет нарушением закона..